题目内容

11．大家知道：某些自然数之间的运算结果存在着神奇的规律．
比如：5=12+22，13=22+32，5×13=65=42+72；①
26=52+12，53=22+72，26×53=1378=32+372；②
…．
（1）请你仿照①或②，写出两个具有上述规律的算式；
（2）根据上面算式结果，可猜想结论“某些自然数，它们能表示成两个平方数的和，将这些自然数（两个）相乘，乘积仍是两个平方数的和，即：若x=m2+n2，y=p2+q2，其中m、n、p、q为自然数，则xy能表示成两个代数式的平方和，问：猜想结论成立吗？请说明理由．

分析 （1）观察已知数的规律：它们能表示成两个平方数的和，将这些自然数（两个）相乘，乘积仍表示为两个平方数的和，据此写出数即可．
（2）用字母表示数，结合整式运算方法进行计算证明即可．

解答 解：（1）10=12+32，20=22+42，10×20=200=22+142
 29=52+22，10=12+32，29×10=290=12+172
（2）成立．
证明：若x=m2+n2，y=p2+q2，其中m、n、p、q为自然数，
xy=（m2+n2）（p2+q2 ）
=m2p2+m2q2+n2p2+n2q2
=（mp）2+（nq）2+（mq）2+（np）2+2mnpq-2mnpq
=（mp-nq）2+（mq+np）2
因为m，n，p，q都是自然数，所以mp+nq和mq+np都是自然数，所以，猜想能成立．

点评 此题主要考察规律的探索与证明，根据已知理清所含规律并合理运用是解题的关键，在证明时，将数用字母表示，再根据整式的运算进行，计算能力很重要．

练习册系列答案
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B．至少有一个为正数
C．正数大于负数
D．正数大于负数的绝对值，或都为正数

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