Question

按照某学者的理论，假设一个生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为

m

m+a

；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为

a

n+a

．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2

．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和8元，设产品A、B的单价分别为m_A元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h．
（1）求h关于m_A、m_B的表达式；
（2）设m_A=3m_B，求甲的综合满意度h的最大值（当a、b均为正数时，可以使用公式a+b≥2

ab

）．

Answer 1

分析：（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式即可；
（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果即可．

解答：解：（1）甲：买进A的满意度为h_A1=

12

mA+12

，卖出B的满意度为h_B1=

mB

mB+8

；
所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲=

hA1•hB1

=

12 mA+12 × mB mB+8

=

12mB (mA+12)(mB+8)

；
（ 2）当m_A=3m_B 时，
h=

h1h2

=

12mB (mA+12)(mB+8)

=

4mB mB 2+32+12mB

≤

4mB 2 32 mB+12 mB

=

2

-1．

点评：本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．