Question

如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OP=4，∠OPA=30°．求OC和AB的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：

分析：利用切线的性质和垂径定理推知△OAP和△OCA为直角三角形．利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得OA、OC的长度；然后在直角△OAC中，利用勾股定理可以求得AC的长度，则AB=2AC．

解答：解：∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90°．
∵在Rt△OAP中，∠OPA=30°，
∴∠AOP=60°．
∵AB⊥OP，
∴∠OAC=30°，
∴OA=

1

2

OP=2，OC=

1

2

OA=1，
∴AC=

OA2-OC2

=

22-12

=

3

，
∴AB=2AC=2

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，勾股定理．解题时，需要注意：含30度角的三角形是直角三角形．