Question

2．如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点，延长AB至点D，连接DC，过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E，且∠DCB=∠DAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，tan∠DCB=$\frac{2}{3}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，OE，根据圆周角定理得到∠BCO+∠1=90°，而∠DCB=∠CAD，∠CAD=∠1，于是∠DCB+∠BCO=90°；
（2）根据切线的性质得到EC=EA，OE⊥AC，则∠BAC=∠OEA，得到tan∠DCB=tan∠OEA=$\frac{OA}{AE}$=$\frac{2}{3}$，易证Rt△CDO∽Rt△CAE，得到$\frac{DC}{DA}=\frac{OC}{AE}=\frac{OA}{AE}=\frac{2}{3}$，求得CD，然后在Rt△DAE中，运用勾股定理可计算出AE的长．

解答 （1）证明：连结OC，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°，
又∵∠DCB=∠CAD，
∵∠CAD=∠1，
∴∠1=∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EA为⊙O的切线，
∴EC=EA，OE⊥DA，
∴∠BAD+∠DAE=90°，∠OEA+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠OEA，
∴∠CDB=∠OEA．
∵tan∠CDB=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠OEA=$\frac{OA}{AE}$=$\frac{2}{3}$，
∵Rt△DCO∽Rt△DAE，
∴$\frac{CD}{DA}$=$\frac{OC}{AE}$=$\frac{OA}{AE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×6=4，
在Rt△DAE中，设AE=x，
∴（x+4）²=x²+6²，
解得x=$\frac{5}{2}$．
即AE的长为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．