题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．
（1）当t= 时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．求s与ι之间的函数关系式．
（1）当t=
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．求s与ι之间的函数关系式．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由A到B的过程中，利用方程即可求得；
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，得出PC=t-3，BQ=2t-9，求出AQ，再根据（2）可得，△PCQ中，PC边上的高是
（14-2t），最后根据三角形的面积公式即可得出答案．
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从B到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，得出PC=t-3，BQ=2t-9，求出AQ，再根据（2）可得，△PCQ中，PC边上的高是
| 3 |
| 5 |
解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=
=4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：
（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，
解得：t=7．
答：当t=7时，点P与点Q相遇；
故答案为：7．
（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，
即3-t=2t，
解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=
PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=
AQ=
（2t-4），
∵PC=BC-BP=3-t，
∴
×
（2t-4）=3-t，
解得：t=
；
则当t=1或t=
时△PCQ为等腰三角形；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，
即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：
（14-2t），
故s=
（2t-9）×
（14-2t）=
（-t2+10t-2）=-
t2+6t-
．
| AB2-BC2 |
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5-4.5=7.5．
根据题意得：
（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，
解得：t=7．
答：当t=7时，点P与点Q相遇；
故答案为：7．
（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，
即3-t=2t，
解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=
| 1 |
| 2 |
在直角△AQH中，AQ=2t-4，则QH=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∵PC=BC-BP=3-t，
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
解得：t=
| 39 |
| 17 |
则当t=1或t=
| 39 |
| 17 |
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t-3，BQ=2t-9，
即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：
| 3 |
| 5 |
故s=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的性质、勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是本题的关键．
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| ||
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|
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