Question

3．已知抛物线y₁=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0，x₁≠x₂）与x轴分别交于A（x₁，0）、
B（x₂，0）两点，直线y₂=2x+t经过点A．
（1）已知A、B两点的横坐标分别为3、-1．
①当a=1时，直接写出抛物线y₁和直线y₂相应的函数表达式；
②如图，已知抛物线y₁在3＜x＜4这一段位于直线y₂的下方，在5＜x＜6这一段位于直线y₂的上方，求a的取值范围；
（2）若函数y=y₁+y₂的图象与x轴仅有一个公共点，探求x₂-x₁与a之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据已知条件得到当a=1，得到y₁=（x-3）（x+1），由于直线y₂=2x+t经过点A，得到方程0=2×3+t，得到t=-6，于是得到结论；
②设y₁=a（x-3）（x+1），根据题意得不等式，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到y=y₁+y₂=a（x-x₁）（x-x₂）+2x-2x₁=（x-x₁）[a（x-x₁）+2]根据函数y的图象与x轴仅有一个公共点，于是得到结论．

解答 解：（1）①∵已知抛物线y₁=a（x-x₁）（x-x₂）经过A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，当a=1，
∴y₁=（x-3）（x+1），
∵直线y₂=2x+t经过点A，
∴0=2×3+t，
解得：t=-6，
∴y₂=2x-6；
②设y₁=a（x-3）（x+1），
由题意可得，当x=4时，y₁=5a＜2，
∴a＜$\frac{2}{5}$，
当x=5时，y₁=12a＞4，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3}＜$a＜$\frac{2}{5}$；
（2）∵直线y₂过点A（x₁，0），
∴0=2x₁+t，∴t=-2x₁，
∴y=y₁+y₂=a（x-x₁）（x-x₂）+2x-2x₁=（x-x₁）[a（x-x₁）+2]
∴方程的根为x₁，x₂-$\frac{2}{a}$，
∵函数y的图象与x轴仅有一个公共点，
∴x₁=x₂-$\frac{2}{a}$，
∴x₂-x₁=$\frac{2}{a}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．