Question

16．（1）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且CD=CE，则易证得AD=BE．
（2）若把△DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否相等？若相等请证明，若不相等说明理由．
（3）若把△ACB和△CDE都改为一般等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则AD=BE还成立吗？（不用证明或理由，直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）利用线段间的和差关系求得BE=AD；
（2）在△BCE和△ACD中，根据BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，得出△BCE≌△ACD，从而证出BE=AD；
（3）同（2）的方法即可．

解答 解：（1）如图1，

∵CA=CB，CD=CE，
∴BE=AD，

（2）AD=BE，如图2，

理由：∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠DCE-∠DCB
∵∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD 和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．

（3）AD=BE还成立．
如图3，

理由：∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠DCE-∠DCB
∵∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质；熟练运用旋转的性质，全等三角形的判断与性质，解题的关键是△ACD≌△BCE，是一道比较简单的题目．