题目内容
9．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB=90°） 直线过点A．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF=2CE．（1）当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，也请说明理由；
（2）当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并说明理由．
分析 （1）过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE；
（2）过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，易证△CBG≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF-BF=2CE．
解答 解：（1）AF+BF=2CE仍成立，
过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
在△ACE与△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BHC=90°}\\{∠CAE=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）如图3，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
在△CBG与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CGB}\\{∠ACE=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．
点评 考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．
练习册系列答案
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17．
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