Question

若

x

y+z+t

=

y

z+t+x

=

z

t+x+y

=

t

x+y+z

，记A=

x+y

z+t

+

y+z

t+x

+

z+t

x+y

+

t+x

y+z

，证明：A是一个整数．

Answer 1

分析：根据题意设

x

y+z+t

=

y

z+t+x

=

z

t+x+y

=

t

x+y+z

=k，然后得出x，y，z，t之间关系．从而得出A的取值，即可证明A是一个整数．

解答：解：令

x

y+z+t

=

y

z+t+x

=

z

t+x+y

=

t

x+y+z

=k，
则x=k（y+z+t），y=k（z+t+x），z=k（t+x+y），t=k（x+y+z）．
它们相加得x+y+z+t=3k（x+y+z+t），即（x+y+z+t）（3k-1）=0．
得：x+y+z+t=0或k=

1

3

，
当x+y+z+t=0时，A=-1-1-1-1=-4．
当k=

1

3

时，A=1+1+1+1=4．
可得：A=-4或A=4．
所以A是一个整数．

点评：本题考查了分数的等式问题．先求出A的取值，就可以看出A是否为一个整数．