Question

13．如图，直线y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A，B，且OA，OB的长是方程x（6-x）=8的两个根（OA＞OB），点C在x轴的负半轴上，tan∠BCA=$\frac{1}{3}$，M是AB的中点．
（1）求点M的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）点P在直线AB上，点N在直线BC上，若以点O，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）解方程求得A、B点的坐标，即可求得M点的坐标；
（2）根据tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$，求得直线BC的斜率，然后根据B的坐标即可得出解析式；
（3）分两种情况：①当四边形OMNP是平行四边形时，设P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），根据平行四边形性质得出N（a+2，-$\frac{1}{2}a$+2+1），把x=a+2代入直线BC的解析式得出N的纵坐标，然后根据纵坐标相等列出方程，解方程即可求得；②当四边形OMPN是平行四边形时，设P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），则N（a-2，-$\frac{1}{2}a$+2-1），同理求得．

解答 解；（1）方程x（6-x）=8整理得：
x²-6x+8=0，
解得x₁=4，x₂=2，
∴OA=4，OB=2，
∴A（4，0），B（0，2），
∴M（2，1）；
（2）∵tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$，OB=2，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2；
（3）∵A（4，0），B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵点P在直线AB上，点N在直线BC上，M（2，1）；
①当四边形OMNP是平行四边形时，
设P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），则N（x+2，-$\frac{1}{2}a$+2+1），
把x=a+2代入y=$\frac{1}{3}$x+2得y=$\frac{1}{3}$（a+2）+2，
∴$\frac{1}{3}$（a+2）+2=-$\frac{1}{2}a$+2+1，
解得a=$\frac{2}{5}$，
∴P（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$）；
②当四边形OMPN是平行四边形时，
设P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），则N（a-2，-$\frac{1}{2}a$+2-1），
把x=a-2代入y=$\frac{1}{3}$x+2得y=$\frac{1}{3}$（a-2）+2，
∴$\frac{1}{3}$（a-2）+2=-$\frac{1}{2}a$+2-1，
解得a=-$\frac{2}{5}$，
∴P（-$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$），
综上P的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$）或（-$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．