Question

如图，四边形OABC是面积为4的正方形，反比例函数y=

k

x

的图象经过点B．将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，NA′BC．设MC′、NA′分别与函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点E、F．
（1）求k的值及直线EF的解析式；
（2）在函数y=

k

x

（x＜0）的图象上有一点P（a，b），若S_△PEF=

81

4

，求点P的坐标；
（3）若线段EF向下平移1个单位得到新的一次函数，当此一次函数小于反比例函数值时，求自变量的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,面积及等积变换,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题

专题：综合题,数形结合

分析：（1）如图1，根据正方形的面积公式可求得点B的坐标，从而求得k值，根据条件可得到点F的纵坐标和点E的横坐标，代入反比例函数解析式求出其坐标，然后运用待定系数法就可求出直线EF的解析式；
（2）过点P作PQ∥EF交y轴于点Q，连接QE、QF，过点E作EH⊥y轴于H，设直线EF与y轴交于点D，如图2，由PQ∥EF可得S_△QEF=S_△PEF=

81

4

，然后根据S_△QEF=S△_QDE-S_△QDF求出DQ，从而得到点Q的坐标，即可得到直线PQ的解析式，然后只需求出直线PQ与反比例函数y=

k

x

图象的交点，就可得到点P的坐标；
（3）先求出平移后的线段所对应函数的解析式，然后通过验证可得平移后的线段与反比例函数y=

k

x

图象相切于点B，然后只需结合图象就可解决问题．

解答：解：（1）如图1．
∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴OA=OC=2，
∴点B坐标为（2，2）．
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点B，
∴k=2×2=4．
∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，
∴ON=2OC=4，OM=2AO=4，
∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．
∵点E、F在函数y=

4

x

的图象上，
∴当x=4时，y=1，即E（4，1），
当y=4时，x=1，即F（1，4）．
设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，得

4m+n=1 m+n=4

，
解得

m=-1 n=5

．
∴直线EF的解析式为y=-x+5；

（2）过点P作PQ∥EF交y轴于点Q，连接QE、QF，
过点E作EH⊥y轴于H，设直线EF与y轴交于点D，如图2，
则D（0，5），EH=4，FN=1．
∵PQ∥EF，
∴S_△QEF=S_△PEF=

81

4

．
又∵S_△QEF=S_△QDE-S_△QDF
=

1

2

DQ•EH-

1

2

DQ•FN=

1

2

DQ•（4-1）
=

3

2

DQ，
∴

3

2

DQ=

81

4

，
∴DQ=

27

2

．
∴Q（0，5-

27

2

）即（0，-

17

2

），
∴直线PQ的解析式为y=-x-

17

2

．
联立

y=-x- 17 2 y= 4 x

，
解得：

x1=-8 y1=- 1 2

，

x2=- 1 2 y2=-8

，
∴点P的坐标为（-8，-

1

2

）或（-

1

2

，-8）；

（3）设线段EF向下平移1个单位后到达线段MF′，
∵线段EF所对应的解析式为y=-x+5（1≤x≤4），
∴线段MF′所对应的解析式为y=-x+4（1≤x≤4），
联立

y=-x+4 y= 4 x

，
解得

x=2 y=2

，
∴线段MF′与反比例函数图象相切于点B．
结合图象可得：当此一次函数小于反比例函数值时，x的取值范围为1≤x≤4且x≠2．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、求一次函数与反比例函数图象的交点坐标等知识，运用等积变换及割补法是解决第（2）小题的关键，运用数形结合是解决第（3）小题的关键．