Question

如图，D、E分别为等边△ABC的边BC、AC上一点，BD=CE，∠CAD=45°，AD、BE交于M．
（1）求∠AME的度数；
（2）求

BM

AM

的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠DBE，根据∠AME=∠ABM+∠BAM可得∠AME=∠ABD，即可解题；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，根据（1）中结论可以求得AF、AM和FM的大小关系，再根据∠CAD=45°和∠BAC=60°可以求得BM和MF的大小关系，即可解题．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°．
在△ABD和△BCE中，

AB=BC ∠ABC=∠ACB=60° BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠DBE．
∵∠AME=∠ABM+∠BAM，
∴∠AME=∠ABM+∠DBM．
即∠AME=∠ABD．
∴∠AME=60°；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，

∴∠FAM=30°，
∴AF=

3

FM，AM=2MF，
∵∠CAD=45°，∠BAC=60°，
∴∠BAF=∠BAD+FAM=45°，
∴BF=AF=

3

MF，
∴BM=BF-MF=（

3

-1）MF，
∴

BM

AM

=

( 3 -1)MF

2MF

=

3 -1

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△BCE是解题的关键．