Question

15．①如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC的度数；
②如图2，若点P为△ABC外部一点，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先写出∠BAC和∠BPC的数量关系：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC，并证明你的结论．

Answer 1

分析 ①根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根据角平分线的定义可得∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，然后整理得到∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A，再代入数据计算即可得解．

解答 解：①∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{180°-∠A}{2}$=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-55°=125°；
②∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
理由：在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠PCB，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
故答案为：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

点评 本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A是解题的关键．