Question

19．将两块全等的含30°角的直角三角形按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B₁A₁C₁=30°，则AB=2BC．
（1）固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A₁C、A₁B₁分别交于点D、E，AC与A₁B₁交于点F．
①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB₁=160度；
②当旋转角等于多少度时，AB与A₁B₁垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB₁，AB与A₁C交于点D，试说明A₁D=CD．

Answer 1

分析 （1）①根据旋转的性质可得∠ACA₁=20°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，然后根据∠BCB₁=∠BCD+∠A₁CB₁进行计算即可得解；
②根据直角三角形两锐角互余求出∠A₁DE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACA₁，即为旋转角的度数；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=$\frac{1}{2}$AC，根据旋转的性质可得A₁C=AC，然后求出解即可．

解答 解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA₁=20°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACA₁=90°-20°=70°，
∴∠BCB₁=∠BCD+∠A₁CB₁，
=70°+90°，
=160°；
②当AB与A₁B₁垂直时，∠AED=90°，
∴∠A₁DE=90°-∠A₁=90°-30°=60°，
∴∠BDC=∠A₁DE=60°，由已知易得∠B=60°，
∴∠DCB=180°-∠BDC-∠B=60°，
∴∠ACA₁=30°，
即当旋转角等于30°时，AB与A₁B₁垂直．
（2）∵AB∥CB₁，
∴∠ADC=180°-∠A₁CB₁=180°-90°=90°，
∵∠BAC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC，
又∵由旋转的性质得，A₁C=AC，
∴A₁D=CD．

点评 本题考查了旋转的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．