Question

15．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别与⊙O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设AD=4，AB=x （x＞0），BC=y （y＞0）．求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）过O作OE⊥CD于点E，则∠OED=90°．依据切线的性质可知∠OAD=90°，接下来证明△OAD≌△OED，依据全等三角形的性质可知OA=OE，故此OE为⊙O的半径，则CD是⊙O的切线；
（2）如图2所示：过O作OE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则DF=AB=x．由切线长定理可得：DE=DA，CE=CB，则CD=4+y，在Rt△DFC中依据勾股定理可得到（y+4）=x²+（y-4）²，从而可得到y与x的函数关系式．

解答 解：（1）过O作OE⊥CD于点E，则∠OED=90°．

∵⊙O与AM相切于点A，
∴∠OAD=90°．
∵OD平分∠ADE，
∴∠ADO=∠EDO．
∵OD=OD，
∴△OAD≌△OED．
∴OE=OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径．
∴CD是⊙O的切线．
（2）如图2所示：过O作OE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则DF=AB=x．

∵AD=4，BC=y，
∴CF=BC-AD=y-4．
由切线长定理可得：DE=DA，CE=CB，
∴CD=CE+ED
=BC+AD
=4+y
在Rt△DFC中，
∵CD²=DF²+FC²
∴（y+4）=x²+（y-4）²．
整理得：y=$\frac{1}{16}$x²，则y关于x的函数关系式为：y=$\frac{1}{16}$x²．

点评 本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．