Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边 PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）．现给出以下四个结论：
（1）AE=CF；
（2）△EPF是等腰直角三角形；
（3）S_{四边形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（4）EF=AP．
上述结论中始终正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S_APE=S_△CPF，求出S_{四边形AEPF}=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，求出BE+CF=AE+AF＞EF，即可得出答案．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C=45°}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠CPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF
∴S_APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，∴③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故④错误；
即正确的有3个，
故选C．

点评 本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．