Question

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）。请解答以下问题：

（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值，此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？

Answer 1

解：（1）△BMP是等边三角形 连接AN ∵EF垂直平分AB， ∴AN=BN 由折叠知AB=BN， ∴AN=AB=BN， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN=60° ∴∠PBN=30° 又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°， ∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60° ∴∠BMP=60°， ∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60° ∴△BMP为等边三角形。
（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP 在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30° ∴ ∴ ∴ 所以当时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP。
（3））∵∠M′BC=60°， ∴∠ABM′=90°-60°=30° 在Rt△ABM′中， ∴ ∴ ∴，代入y=kx中，得 设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC交BC于H ∵△A′BM′≌△ABM′， ∴∠A'BM'=∠ABM'=30°，A′B=AB=2 ∴∠A'BH=∠M'BH-∠A'BM'=30° 在Rt△A′BH中，A′H= ∴ ∴A′落在EF上。