Question

已知：如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．
（1）证明：△ABD≌△GCA；
（2）证明：AG⊥AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）易证∠ACF=∠ABE，根据边角边判定三角形全等方法即可求证△ABD≌△GCA；
（2）根据全等三角形对应角全等性质可得∠GAC=∠BDA，即可求得∠GAD=90°．

解答：证明：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠ACF=∠ABE，
在△ABD和△GCA中，

AB=CG ∠ACF=∠ABE BD=AC

；
∴△ABD≌△GCA，（SAS）；
（2）∵△ABD≌△GCA，
∴∠BDA=∠CAG，
∵∠BDA=∠BEA+∠DAE，
∠CAG=∠GAD+∠DAE，
∴∠GAE=∠AEB=90°，
∴AG⊥AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△GCA是解题的关键．