题目内容
17．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴，y轴分别交于点A（8，0），B（0，4），点C的坐标为（3，0），动点D是射线BO上一个动点，连结CD，过点C作CD⊥FC，交一次函数图象于点F．（1）求这个一次函数的解析式；
（2）过点F作FE⊥x轴，垂足为点E，当△OCD与△EFC全等时，求出满足条件的点F的坐标；
（3）点D在运动过程中，是否存在使△ACF是等腰三角形？若存在请求出点F的坐标；不存在，请说明理由．
分析 （1）利用待定系数法，由点A（8，0），B（0，4）即可求出直线解析式．
（2）△OCD与△EFC全等分为两种情况，由全等得出线段EF或CE长度，进而求出点F的横坐标或纵坐标，代入直线解析式就可以求出点F的坐标．
（3）△ACF是等腰三角形，可以分三种情况讨论，根据等腰三角形性质求出F点的坐标．
解答 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
将点A（8，0），B（0，4）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=4．
故一次函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4．
（2）∵△OCD与△EFC全等，
∴可以分两种情况：△OCD≌△EFC或△OCD≌△ECF，
①当△OCD≌△EFC时，
OC=EF=3，
∴点F纵坐标为3，
将y=3代入直线解析式得：x=2，
∴F（2，3）．
②当△OCD≌△ECF，
OC=EC=3，
∴点F横坐标为6，
将x=6代入直线解析式得：y=1，
∴F（6，1）．
∴F点坐标为：（2，3）或（6，1）．
（3）存在．
△ACF是等腰三角形，
①当CF=AF时，
根据等腰三角形三线合一性质，得点E为AC中点，
AC=5，CE=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\frac{11}{5}$，即F点横坐标为$\frac{11}{5}$，
将x=$\frac{11}{5}$带入一次函数得y=$\frac{29}{10}$
∴F（$\frac{11}{5}$，$\frac{29}{10}$）．
②当AF=AC时，OB=4，OA=8，
AB=4$\sqrt{5}$．
∵EF∥OB，
∴△AEF∽△AOB．
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{EF}{OB}$，
解得：EF=$\sqrt{5}$．
将y=$\sqrt{5}$代入直线解析式，得：x=8-2$\sqrt{5}$，
∴F（8-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
③当CF=AC=5时，
∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
此时，CB=CF，点F与点B重合，
则点P则会出现在y轴负半轴，与题意不符，舍去．
∴点F坐标为：（$\frac{11}{5}$，$\frac{29}{10}$）、（8-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
点评 本题考查了一次函数的综合应用、全等三角行、等腰三角形等知识．知识点涉及较多，题目整体较难，特别是题目存在多解的情况，在解决此类问题时，注意不要出现漏解的情况．
津桥教育计算小状元系列答案| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 用水量（吨） | 6 | 8 | 12 | 15 |
| 费用（元） | 12 | 16 | 28 | 37 |
（2）若小明家5月份用水25吨，则应缴多少元水费？
（3）若小明6月份缴水费43元，则6月份他们家用水多少吨？
如图，数轴上点A表示的数是-1，原点O是线段AB的中点，∠BAC=30°，∠ABC=90°，以点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}-1$ | B． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | D． | $\frac{4\sqrt{3}}{3}-1$ |
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）和B（2，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=2．| A． | 所有的有理数都能用数轴上的点表示 | |
| B． | 符号不同的两个数互为相反数 | |
| C． | 有理数分为正数和负数 | |
| D． | 两数相加，和一定大于任何一个数 |
| A． | 9.6×10 | B． | 96×104 | C． | 9.6×105 | D． | 9.6×106 |
如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．求证：AF∥CD，AB∥DE，BC∥EF．