Question

18．如图将弧BC沿想BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是$\sqrt{114}$．

Answer 1

分析 如图，连接CD、AC，作CE⊥AB于E．首先证明CA=CD，可得AE=ED=2.5，再由△ACE∽△ABC，得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{AC}{12}$=$\frac{2.5}{AC}$，推出AC²=30，在Rt△ACB中，构建BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$计算即可．

解答 解：如图，连接CD、AC，作CE⊥AB于E．

∵∠ABC=∠CBD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴CA=CD，
∴AE=DE=2.5，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠AEC=90°，∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AC}{12}$=$\frac{2.5}{AC}$，
∴AC²=30，
在Rt△ACB中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{144-30}$=$\sqrt{114}$，
故答案为$\sqrt{114}$．

点评 本题考查翻折变换、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明AC=CD，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．