Question

9．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥2$\sqrt{3}$r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是$（3\sqrt{3}-π）{r}^{2}$．

Answer 1

分析 过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO₁，则在Rt△ADO₁中，可求得$\sqrt{3}$r，四边形ADO₁E的面积等于三角形ADO₁的面积的2倍，还可求出扇形O₁DE的面积，所求面积等于四边形ADO₁E的面积减去扇形O₁DE的面积的三倍．

解答 解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O₁作两边的垂线，垂足分别为D，E，
连结AO₁，则Rt△ADO₁中，∠O₁AD=30°，O₁D=r，AD=$\sqrt{3}$r，
∴${S}_{△AD{O}_{1}}=\frac{1}{2}{O}_{1}D•AD=\frac{\sqrt{3}}{2}{r}^{2}$．由${S}_{四边形AD{O}_{1}E}=2{S}_{△AD{O}_{1}}=\sqrt{3}{r}^{2}$．
∵由题意，∠DO₁E=120°，得${S}_{扇形{O}_{1}DE}=\frac{π}{3}{r}^{2}$，
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为3（ $\sqrt{3}{r}^{2}-\frac{π}{3}{r}^{2}$）=（3$\sqrt{3}$-π）r²．
故答案为：$（3\sqrt{3}-π）{r}^{2}$．

点评 本题考查了面积的计算、等边三角形的性质和切线的性质，是基础知识要熟练掌握．