Question

8．如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
（1）求证：AD∥NG；
（2）若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠ANB：∠BNG=2：1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A？

Answer 1

分析 （1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；

（2）∠NBG-∠ANB+∠1=180°，
解：过B作BP∥AN交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG-∠NBP=∠NBG-∠ANB，
∴∠NBG-∠ANB+∠1=180°；

（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．