Question

3．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标是A（-1，0），B（0，-$\frac{1}{2}$），D（0，2）
（1）判断平行四边形ABCD是不是矩形，请说明理由；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点C，求k的值．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OD于E，则∠CED=90°，由题意得出OA=1，OB=$\frac{1}{2}$，OD=2，由平行四边形的性质得出CD=AB，CD∥AB，由AAS证明△CDE≌△ABO，得出CE=AO=1，DE=OB=$\frac{1}{2}$，得出OE=OD-DE=$\frac{3}{2}$，即可得出点C的坐标；求出$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OA}{OD}$，证明△AOB∽△DOA，得出对应角相等∠ABO=∠DAO，再由角的互余关系得出∠BAD=90°，即可得出结论；
（2）直接把C点坐标代入反比例函数的解析式，求出k的值即可．

解答 解：（1）平行四边形ABCD是矩形．
理由：作CE⊥OD于E，如图所示：则∠CED=90°=∠AOB，
∵A（-1，0），B（0，-$\frac{1}{2}$），D（0，2），
∴OA=1，OB=$\frac{1}{2}$，OD=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠CDE=∠ABO，
在△CDE和△ABO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠CED=∠AOB\\∠CDE=∠ABO\\ CD=AB\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△ABO（AAS），
∴CE=AO=1，DE=OB=$\frac{1}{2}$，
∴OE=OD-DE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）．
∵$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OA}{OD}$，
又∵∠AOB=∠DOA=90°，
∴△AOB∽△DOA，
∴∠ABO=∠DAO，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DAO+∠BAO=90°，即∠BAD=90°，
∴?ABCD是矩形．

（2）∵点C的坐标为（1，$\frac{3}{2}$），
∴k=1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的判定与性质、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，本题综合性强，有一定难度．