题目内容
已知O是△ABC内一点，且GN∥AB，FM∥BC，EH∥AC，求证：| EH |
| AC |
| FM |
| BC |
| NG |
| AB |
考点：平行线分线段成比例
专题：证明题
分析：先证明△BEH∽△BAC得到
=
，再证明△CGN∽△CAB得到
=
，则
+
+
=
，然后证明四边形BNOF和四边形CHOM都是平行四边形，可得FM=BN+CH，于是
+
+
=
=2．
| EH |
| AC |
| BH |
| BC |
| NG |
| AB |
| CN |
| BC |
| EH |
| AC |
| FM |
| BC |
| NG |
| AB |
| BH+CN+FM |
| BC |
| EH |
| AC |
| FM |
| BC |
| NG |
| AB |
| BH+CN+BN+CH |
| BC |
解答：证明：∵EH∥AC，
∴△BEH∽△BAC，
∴
=
，
∵GN∥AB，
∴△CGN∽△CAB，
∴
=
，
∴
+
+
=
+
+
=
，
∵GN∥AB，FM∥BC，EH∥AC，
∴四边形BNOF和四边形CHOM都是平行四边形，
∴OF=BN，OM=CH，
∴FM=BN+CH，
∴
+
+
=
=
=
=2．
∴△BEH∽△BAC，
∴
| EH |
| AC |
| BH |
| BC |
∵GN∥AB，
∴△CGN∽△CAB，
∴
| NG |
| AB |
| CN |
| BC |
∴
| EH |
| AC |
| FM |
| BC |
| NG |
| AB |
| BH |
| BC |
| FM |
| BC |
| CN |
| BC |
| BH+CN+FM |
| BC |
∵GN∥AB，FM∥BC，EH∥AC，
∴四边形BNOF和四边形CHOM都是平行四边形，
∴OF=BN，OM=CH，
∴FM=BN+CH，
∴
| EH |
| AC |
| FM |
| BC |
| NG |
| AB |
| BH+CN+FM |
| BC |
| BH+CN+BN+CH |
| BC |
| 2BC |
| BC |
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
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