Question

4．已知二次函数 y=kx²-（4k+1）x+4（k≠0）．
（1）若该二次函数的顶点在x轴上，求k的值；
（2）若x＜-1时，y随x的增大而增大，求实数k的取值范囤；
（3）①说明点B（4，0）在抛物线y=kx²-（4k+1）x+4上；
           ②直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠EBF≤60°，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据配方法，可得函数顶点坐标，根据x轴上点的纵坐标等于零，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据二次函数的性质，对称轴的左侧y随x的增大而增大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；
（3）①根据点的坐标满足函数解析式在函数图象上，可得答案；
②根据正切函数的增减性，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

解答 解：（1）y=kx²-（4k+1）x+4=k（x-$\frac{4k+1}{2k}$）+4-$\frac{（4k+1）^{2}}{4k}$，
由二次函数的顶点在x轴上，得
4-$\frac{16{k}^{2}+8k+1}{4k}$=0，
解得k=$\frac{1}{4}$；
（2）由x＜-1时，y随x的增大而增大，得
$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{\frac{4k+1}{2k}≤-1}\end{array}\right.$，
解得k≤-$\frac{1}{6}$，
若x＜-1时，y随x的增大而增大，实数k的取值范囤是k≤-$\frac{1}{6}$；
（3）①当x=4时，y=16k-16k-4+4=0，即（4，0）在函数图象上；
②如图，
由正切函数的增减性，得
1≤$\frac{EF}{BF}$≤$\sqrt{3}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-3k}{3}≥1}\\{\frac{3-3k}{3}≤\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得1-$\sqrt{3}$≤0．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用x轴上点的纵坐标等于零得出方程；解（2）的关键是利用对称轴的左侧y随x的增大而增大得出不等式是解题关键；解①的关键是把点的坐标代入函数解析式；解②的关键是利用正切函数的增减性得出不等式组．