Question

17．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm²？

Answer 1

分析 （1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜x≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．

解答 解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，
∴$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×8，
∴x²-6x+12=0，
∵b²-4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；

（2）设t秒后，△PBQ的面积为1
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时
此时0＜t≤4
由题意知：$\frac{1}{2}$（6-t）（8-2t）=1，
整理得：t²-10t+23=0，
解得：t₁=5+$\sqrt{2}$（不合题意，应舍去），t₂=5-$\sqrt{2}$，
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时
此时4＜t≤6，
由题意知：$\frac{1}{2}$（6-t）（2t-8）=1，
整理得：t²-10t+25=0，
解得：t₁=t₂=5，
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时
此时x＞6，
由题意知：$\frac{1}{2}$（t-6）（2t-8）=1，
整理得：t²-10t+25=0，
解得：t₁=5+$\sqrt{2}$，t₂=5-$\sqrt{2}$，（不合题意，应舍去），
综上所述，经过5-$\sqrt{2}$秒、5秒或5+$\sqrt{2}$秒后，△PBQ的面积为1．

点评 此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．