Question

已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2，m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE，若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵点B（-2，m）在直线上，
∴
∴点B（-2，3）
又∵点A（4，0）点O（0，0）
∴设抛物线对应的函数关系式为 
∴
∴
∴函数关系式为
（2）①由题意可得：点E（2，-5）
，又点C（2，0），
∴CE=5， 
又点B（-2，3）
∴BC==5，
∴CB=CE 
②又题意可得：点D（0，-1）， 
∴BD==2，DE==2，
∴BD=DE，即D是BE的中点．
（3）作直线CD，
∵PB=PE
∴点P在线段BE的垂直平分线上，
∵CB=CE，D是BE的中点，
∴CD⊥BE，
∴直线CD是线段BE的垂直平分线，
设直线CD解析式为，
由题意可得：，
∴
∴
解得：，
∴存在点P（，）和（，），使得PB=PE．