Question

6．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与坐标轴分别相交于点A、B．
（1）求A、B两点坐标；
（2）以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；
（3）在坐标系中是否存在点M，使得以M、O、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0和y=0，可求得A、B的坐标；
（2）由（1）的坐标可求得AB的长，过C作CD⊥AB于点D，可求得CD的长，进一步可求得△ABC的面积；
（3）分AB为边和对角线，当AB为边时有OM∥AB，当AB为对角线时，可知四边形OAMB为矩形，可分别求得M的坐标．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可得x=8，
∴A为（0，6），B为（8，0）；
（2）由（1）可知OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB=10，
如图1，过C作CD⊥AB于点D，

则AD=BD=5，且AC=AB=10，
∴CD=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×10×5$\sqrt{3}$=25$\sqrt{3}$；
（3）当AB为边时，有两种情况，
①当M点在第二象限时，如图2，

OM∥AB时，则AM=OB，且M点纵坐标与A点纵坐标相同，∴M坐标为（-8，6）；
②当M点在第四象限时，如图3，

则有OB∥OA，且MB=OA，∴M坐标为（8，-6）；
当AB为对角线时，如图4，

由∠AOB=90°，则四边AMBO为矩形，可知M坐标为（8，6）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（-8，6）或（8，-6）或（8，6）．

点评 本题主要考查一次函数与三角形、四边形的综合应用，在（1）中注意掌握函数与坐标轴交点的求法，在（2）中根据坐标求得等边三角形的边长是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键，注意分类讨论．本题难度不大，注意了基础知识的考查．