Question

如图，已知，∠A=42°，∠D=138°，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD．求证：BP⊥CP．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：延长BP与AC相交于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠ABP+∠ACP，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPC=90°，再根据垂直的定义证明即可．

解答：证明：如图，延长BP与AC相交于点E，
∵∠A=42°，∠D=138°，
∴∠ABC+∠ACB=∠D-∠A=138°-42°=96°，
∵BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，
∴∠ABP+∠ACP=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×96°=48°，
由三角形的外角性质得，∠1=∠A+∠ABP，
∠BPC=∠1+∠CP=∠A+∠ABP+∠ACP=42°+48°=90°，
∴BP⊥CP．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．