题目内容

为欢迎中外游客来西藏旅游观光，拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线，其高度为7米，宽度OE为14米，如图，现以O为原点，OE所在直线为X轴建立平面直角坐标系．
（1）写出顶点M的坐标并求出抛物线的解析式；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OE上，设长OA为x米，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB，的长度之和为l，当x为何值时，l最大，最大值是多少？

解：（1）由题意结合图形可得点M坐标为（7，7），点E坐标为（14，0），
设抛物线解析式为：y=ax²+bx，则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，故抛物线解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+2x；

（2）设A（x，0），则B（14-x，0），C（14-x，- $\text{[math]}$ x²+2x），D（x，- $\text{[math]}$ x²+2x），
故“脚手架”总长AD+DC+CB=（- $\text{[math]}$ x²+2x）+（14-2x）+（- $\text{[math]}$ x²+2x）=- $\text{[math]}$ x²+2x+14=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+17.5，
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当x=3.5米时，l有最大值，最大值为17.5米．
分析：（1）根据所建坐标系易求M的坐标为（7，0），点E（14，0），设解析式为y=ax2+bx，把M点及E点的坐标代入利用待定系数求出解析式；
（2）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（x，0），用含x的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．
点评：本题考查了二次函数的应用，难点在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和，掌握二次函数最值的求法是关键．