Question

4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是2$\sqrt{7}$-2．

Answer 1

分析 根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．

解答 解：如图所示：
∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴MD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=$\frac{1}{2}$MD=1，
∴FM=DM×cos30°=$\sqrt{3}$，
∴MC=$\sqrt{F{M}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴A′C=MC-MA′=2$\sqrt{7}$-2．
故答案为：2$\sqrt{7}$-2．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．