Question

把一张边长为1的正方形纸片A对折一次，可得面积为

1

2

的纸片A₁，再将纸片A₁对折一次，可得面积为

1

4

的纸片A₂，依次对折后得纸片A₃、A₄、…、A_n．
（1）纸片A₆的面积P₆=

 

，纸片A_n的面积P_n=

 

．
（2）设S₆=P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆，求S₆的值．
小明同学在求S₆时用以下方法解：
设S₆=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+

1

26

①
2S₆=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

②
由②-①得S₆=

 

（3）请你仿照小明同学的解题思路求：1+5+5²+5³+5⁴+5⁵+…+5²⁰的值．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）对折n次就是原正方形面积的

1

2n

，由此直接填空即可；
（2）直接计算得出答案就可；
（3）类比（2）中的方法，设S=1+5+5²+5³+5⁴+5⁵+…+5²⁰，求得5S，用5S减去S，整理求得答案即可．

解答：解：（1）纸片A₆的面积P₆=

1

26

，纸片A_n的面积P_n=

1

2n

；  
（2）S₆=1-

1

26

=

63

64

；
（3）设S=1+5+5²+5³+5⁴+5⁵+…+5²⁰，
则5S=5+5²+5³+5⁴+5⁵+…+5²¹，
5S-S=5²¹-1，
S=

521-1

4

．

点评：此题考查数字的变化规律，利用类比的方法找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．