Question

在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．
（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）过D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；进一步利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；
（2）证明方法同（1）得出①成立；②不成立．

解答：证明：（1）如图，

①过D作DG∥AC交AB于G
∵△ABC是等边三角形，AB=BC，
∴∠B=∠ACB=60°
∴∠BDG=∠ACB=60°，
∴∠BGD=60°
∴△BDG是等边三角形，
∴BG=BD
∴AG=DC
∵CE是∠ACB外角的平分线，
∴∠DCE=120°=∠AGD
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG
∴∠EDC=∠DAG，
在△AGD和△DCE中，

∠AGD=∠DCE AG=DC ∠EDC=∠DAG

，
∴△AGD≌△DCE（SAS）
∴AD=DE
 ②∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=CE+DC=DC+2CF
（2）过D作DG∥AC交AB延长线于G，

①成立；
∵DG∥AC
AG=DC
∠BFGD=∠BDG=∠B=60°
∠AGD=180°-60°=120°
∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分线
∴∠ACE=

1

2

×（180°-∠ACB）=60°
∠DCE=120°
∵∠GAD=∠BGD-∠ADG=60°-∠ADG
∵∠CDE=180°-∠GDB-∠ADE-∠ADG=180°-60°-60°-∠ADG=60°-∠ADG
在△AGD和△DCE中，

∠AGD=∠DCE AG=DC ∠EDC=∠DAG

，
∴△AGD≌△DCE（ASA），
AD=DE
②不成立，此时BC=2CF-CD
∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-DC=2CF-CD．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定，利用边角关系以及等量代换求得结论．