Question

16．如图，AB，CD表示两栋建筑，小明想利用建筑CD玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB的高度，首先他在建筑AB的底部A处用测角仪测得其顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点E的仰角为α，然后他沿AC前进了10米到达点F处，再用测角仪测得建筑AB的顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点G的仰角为β，已知tanα=$\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{1}{3}$，测角仪置于水平高度1.5米的M、N处．试求建筑AB的高度．

Answer 1

分析 延长BE．BG分别交MN的延长线于M′，N′，MM′于CD相交于H，设NH=xm，则MH=（x+10）m，N′M=（2x+10）m，MM′=（2x+20）m，在Rt△MM′B中，BM=MM′•tanα=$\frac{1}{3}$（2x+10），在Rt△MN′B中，BM=MN′•tanβ，根据sinβ=$\frac{1}{3}$求得tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，于是得到BM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（2x+10），列方程解得x=30$\sqrt{2}$+35，于是得到AB=30$\sqrt{2}+35$+1.5=78.9m．

解答 解：延长BE．BG分别交MN的延长线于M′，N′，MM′于CD相交于H，
设NH=xm，则MH=（x+10）m，N′M=（2x+10）m，MM′=（2x+20）m，
在Rt△MM′B中，BM=MM′•tanα=$\frac{1}{3}$（2x+10），
在Rt△MN′B中，BM=MN′•tanβ，
∵sinβ=$\frac{1}{3}$，
∴cosβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tanβ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（2x+10），
∴$\frac{1}{3}$（2x+20）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（2x+10），
解得：x=30$\sqrt{2}$+35，
∴AB=30$\sqrt{2}+35$+1.5=78.9m．
答：建筑AB的高度78.9m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．