Question

9．请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，A
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），B
∴c²=a²+b²，C
∴△ABC为直角三角形．D
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：C；
（2）错误的原因是：方程两边同时除以（a²-b²），而（a²-b²）的值可能是0；
（3）本题正确的结论是：该三角形是直角三角形或等腰三角形，请写出你认为正确的解答过程．

Answer 1

分析 （1）上述过程在C步出错；
（2）出错的原因是：方程两个除的式子可能为0；
（3）写出正确的结论，并给出正确解答过程即可．

解答 解：（1）在上述解题过程中，从C步出错；
（2）错误的原因是：方程两边同时除以（a²-b²），而（a²-b²）的值可能是0；
（3）该三角形是直角三角形或等腰三角形，理由为：
∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），即c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
∴（c²-a²-b²）（a²-b²）=0，
∴c²=a²+b²或a²=b²，即a=b，
则△ABC为直角三角形或等腰三角形．
故答案为：（1）C；（2）方程两边同时除以（a²-b²），而（a²-b²）的值可能是0；（3）该三角形是直角三角形或等腰三角形

点评 此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．