Question

18．把两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起，得到如图的四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如有，应如何叠放？请画出最大值或最小值时的图形，直接写出最大周长和最小周长．如没有，请说明理由．

Answer 1

分析 1）由AD∥BC，DC∥AB，可得四边形ABCD是平行四边形．然后分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得AE=DF，又由面积问题，可得BC=AB，即可得四边形ABCD为菱形；
（2）由题意可判断，当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8．当AC为矩形纸片的对角线时，周长最大值为17．

解答 （1）证明：如图：分别过点A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张矩形纸片的宽度相等，
∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S_?ABCD，
∴BC=AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：存在最小值和最大值．
①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；
②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x．如图，
在Rt△BCG中，BC²=CG²+BG²，
即x²=（8-x）²+2²，x=$\frac{17}{4}$．
∴周长最大值为$\frac{17}{4}$×4=17．

点评 本题考查了菱形的判定，及运用矩形，菱形的性质进行综合运算的能力．