Question

已知⊙O的半径为5，由直径AB的端点B作⊙O的切线，从圆周上一点P引该切线的垂线PM，M为垂足，连接PA，设PA=x，则AP+2PM的函数表达式为

 

，此函数的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,切线的性质

专题：计算题

分析：先连接BP，AB是直径，BP⊥BM，所以有，∠BMP=∠APB=90°，又∠PBM=∠BAP，那么有△PMB∽△PAB，
于是PM：PB=PB：AB，可求PM=

PB2

AB

=

102-x2

10

，从而有AP+2PM=x+

102-x2

5

=-

1

5

x²+x+20（0＜x＜10），再根据二次函数的性质，可求函数的最大值．

解答：解：如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠BAP，∠BMP=∠APB=90°，
∴△PMB∽△PAB，
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=

PB2

AB

=

102-x2

10

，
∴AP+2PM=x+

102-x2

5

=-

1

5

x²+x+20（0＜x＜10），
∵a=-

1

5

＜0，
∴AP+2PM有最大值，没有最小值，
∴y_最大值=

4ac-b2

4a

=

85

4

．
故答案为：AP+2PM=x+

102-x2

5

=-

1

5

x²+x+20（0＜x＜10），

85

4

，不存在．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆中直径所对的圆周角等于90°、求二次函数的最大值、弦切角定理．