Question

4．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，△BEF与△CEF成轴对称，△CEF沿CE翻折与△CED重合，且△ACD≌△EBF．
（1）求∠B的度数；
（2）试说明AC∥EF；
（3）若△ABC的周长比△ACE的周长多5.2cm，且AE=3cm，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，根据题意证明∠ACD=∠ECD=∠FCE=∠B，结合∠ACB=90°，求出∠B即可解决问题．
（2）如图，根据题意证明∠ACB=∠EFB，即可解决问题．
（3）首先证明△ACE为等边三角形，此为解题的关键性结论；证明AC=CE=AE=BE=3，结合△ABC的周长比△ACE的周长多5.2，求出BC，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，由题意得：
△ECF≌△EBF、△ECF≌△ECD，
∴∠DCE=∠FCE=∠B（设为α）；
∴△ACD≌△EBF，
∴∠DCA=∠B=α；而∠ACB=90°，
∴3α=90°，∠B=α=30°．
（2）由题意得：∠EFB=90°，而∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EFB，AC∥EF．
（3）由题意得：
∠A=90°-30°=60°，
∠ACE=2×30°=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC=CE=AE，BE=CE，
∴AC=CE=AE=BE=3，
∵△ABC的周长比△ACE的周长多5.2，
∴（BC+9）-9=5.2，
∴BC=5.2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC$
=7.8（cm²）．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．