Question

已知函数y₁=ax²+bx+c，y₂=ax+b（a＞b＞c），当x=1时，y₁=0．
（Ⅰ）证明：y₁与y₂的图象有2个交点；
（Ⅱ）设y₁与y₂的图象交点A，B在x轴上的射影为A₁，B₁，求|A₁B₁|的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题,根的判别式

专题：

分析：（1）将两个解析式组成一个方程组后，然后转化为一个一元二次方程，由根的判别式就可以得出结论．
（2）由条件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的横坐标，由数轴上的点表示出A₁B₁的值，确定出

b

a

的取值范围，从而确定出A₁B₁的范围，得出结论．

解答：解：（1）当自变量x=1时函数值为0，将其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正负不能确定，
联系两个函数，即两线相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴两个函数图象必有两个不同的交点；

（2）上述两函数图象的交点A．B在x轴上的射影分别为A₁．B₁，
根据A₁，B₁为ax²+bx+c=ax+b的两根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有两根为
x₁=

a-b+ (b-a)2-4a(c-b)

2a

，x₂=

a-b- (b-a)2-4a(c-b)

2a

，
A₁B₁=

(b-a)2-4a(c-b)

a

=

(b+a)2-4ac

a

=

( b a +1)2- 4c a

，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=

( b a +1)2+ 4(b+a) a

=

( b a +1)2+4( b a +1)+4-4

=

( b a +3)2-4

． 　　　　
由a＞b，a＞0，有

a

a

＞

b

a

，
即1＞

b

a

，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　

b

a

＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜

b

a

＜1分别代入A式为，
∴

3

2

＜A₁B₁＜2

3

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，勾股定理的运用，函数值的运用及韦达定理的运用，利用韦达定理得出|A₁B₁|的取值范围是解题关键．