Question

9．如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB=4，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．求证：
（1）AF∥BE；
（2）求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由∠B、∠F同对劣弧AP，可知两角的关系，又因BO=PO，△BOP是等腰三角形，求出∠F=∠BPF，得出结论；
（2）AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，证明∠EAP=∠B=∠BPO=∠CPE，∠C=∠C，证△PCE∽△ACP得$\frac{PC}{PE}$=$\frac{AC}{AP}$，再证△EAP∽△ABP得$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AC}{AP}$，从而得出CP=AE，设CE=x，则CP=AE=4-x，由$\frac{CE}{CP}$=$\frac{CP}{CA}$得关于x的方程，解之即可得．

解答 证明：（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP，
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE．

（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠BPO=∠CPE，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴$\frac{PC}{PE}$=$\frac{AC}{AP}$，
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AB}{AP}$，
又AC=AB，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{AC}{AP}$，
于是有$\frac{PC}{PE}$=$\frac{AE}{PE}$．
∴CP=AE，
设CE=x，则CP=AE=4-x，
由$\frac{CE}{CP}$=$\frac{CP}{CA}$得$\frac{x}{4-x}$=$\frac{4-x}{4}$，即x²-12x+16=0，
解得：x=6+2$\sqrt{5}$＞4（舍）或x=6-2$\sqrt{5}$，
故CE的长为6-2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和圆周角定理，通过证两组三角形相似得出CP=AE是解题的关键．