Question

如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为50km，A、C间的路程为30km，现要在A、B之间建一个车站P，设P、C间的路程为xkm．
（1）用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和；
（2）若车站到三个村庄的路程之和为52km，则车站应建在何处？
（3）若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？最小路程是多少？

Answer 1

考点：一元一次方程的应用

专题：

分析：（1）分类讨论，当点P在点C的左侧和点P在点C的右侧，就可以求出结论；
（2）由（1）的建立方程求出x的值即可；
（3）设车站到三个村庄的路程之和为y，就可以得出y=50+x，由一次函数的解析式的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）由题意，得
如图1，当点P在点C的左侧．
车站到三个村庄的路程之和为：30-x+x+20+x=50+x；
如图2，当点P在点C的右侧，
车站到三个村庄的路程之和为：30+x+x+20-x=50+x；
综上所述：车站到三个村庄的路程之和为：50+x；
（2）由题意，得
50+x=52
∴x=2
∴车站应建在村庄C的左侧或右侧2km处；
（3）设车站到三个村庄的路程之和为y，由题意，得
y=50+x，
∴k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y_最小=50．
∴当车站建在村庄C处，车站到三个村庄的路程之和最小．
故最小路程为50km．

点评：本题考查了分类讨论思想的运用，一次函数的解析式的运用，代数式的运用，一元一次方程的运用，解答时建立一次方程求解是关键．