Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．
（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；
（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？
（3）当t为何值时，PQ∥BC？

Answer 1

分析 （1）由题意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB-BP，AQ=t．
（2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP=AQ，即12-2t=t，求出t即可．
（3）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质得出∠QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°．
又∵AB=12cm，
∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB-BP=12-2t，AQ=t；

（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP=AQ，即12-2t=t，
∴当t=4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；

（3）当PQ⊥AC时，PQ∥BC．
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°
∵PQ∥BC，
∴∠QPA=30°
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP，
∴t=$\frac{1}{2}$（12-2t），解得t=3，
∴当t=3时，PQ∥BC．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．