题目内容
在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
（3）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积；若不存在，说明理由．
考点：一元二次方程的应用
专题：几何动点问题
分析：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，用x表示出△PCQ的边长，根据面积是8可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解；
（3）得到有关运动时间的二次函数，求二次函数的最大值即可．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解；
（3）得到有关运动时间的二次函数，求二次函数的最大值即可．
解答：解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：
（6-x）•2x=8，
x=2或x=4，
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
（6-y）•2y=
×
×6×8
y2-6y+12=0．
△=36-4×12＜0．
方程无解，所以不存在
（3）设运动时间为z秒时，△PQC的面积为s，则
s=
（6-z）•2z=-z2+6z=-（z-3）2+9，
故当运动时间为3秒时，最大面积为9．
| 1 |
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x=2或x=4，
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
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y2-6y+12=0．
△=36-4×12＜0．
方程无解，所以不存在
（3）设运动时间为z秒时，△PQC的面积为s，则
s=
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故当运动时间为3秒时，最大面积为9．
点评：本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．
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