Question

14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积9π-12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．

解答 解：连接OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BDC=S_△OBC=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，S_扇形AOB=$\frac{90}{360}$π×6²=9π，
∴整个阴影部分的面积为：S_扇形AOB-S_△BDC-S_△OBC=9π-6$\sqrt{3}$-6$\sqrt{3}$=9π-12$\sqrt{3}$．
故答案为：9π-12$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．