Question

2．如图，正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点O，E为OD中点，动点P从点O出发，沿折O→E→A→B→O的路径运动，回到点O时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是    （　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对点P在不同线段上时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为a，
∴BD=$\sqrt{2}$a，AC⊥BD，
∴OD=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∵E为OD中点，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
当点P在OE上时，
∵OP=x，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
当点P在AE上时，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，
∴y=$\frac{\sqrt{10}}{4}a+\frac{\sqrt{2}}{4}a$-x=-x+$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$a；
当点P在AB上时，
∴y=x-$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$a，
当点P在OB上时，
∵OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+a+$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$a+$\frac{\sqrt{2}}{4}$a-x=$\frac{\sqrt{10}+4\sqrt{2}}{4}$a-x，
∴y=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{a}^{2}+（\frac{\sqrt{10}+4\sqrt{2}}{4}a-x）^{2}}$，
合函数解析式可以得出第1，4段函数的图象是开口向上的抛物线，第2，3段函数的图象是直线，故只有A符合要求，
故选：A．

点评 此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．