将两块直角三角板如图1放置.等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A.AB=AC=3.直角板EDF的直角顶点D在BC上.且CD:BD=1:2.∠F=30°．三角板ABC固定不动.将三角板EDF绕点D逆时针旋转.旋转角为α．(1)当α=30°30°时.EF∥BC,(2)当α=45°时.三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置.设DF与AC交于点M.DE交AB于点N.求四边形ANDM� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD：BD=1：2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（1）当α=

30°

时，EF∥BC；
（2）当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．
（3）如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠MDC=∠F，再根据旋转的性质可得旋转角α=∠MDC；
（2）根据旋转的性质可得∠MDC=α=45°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠C=45°，然后求出∠DMC=90°，同理可求∠DNA=90°，然后求出四边形ANDM是矩形，再根据△DMC和△BAC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DM=1，同理求出DN=2，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；
（3）过点D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，根据同角的余角相等求出∠NDH=∠MDG，然后求出△NDH和△MDG相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出NH=2MG，然后表示出MG，再表示出BN，最后根据四边形ANDM的面积y=S_△ABC-S_△CDM-S_△BDN列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴∠MDC=∠F，
∴旋转角α=30°；

（2）当α=45°时，∠MDC=α=45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴∠DMC=180°-∠MDC-∠C=180°-45°-45°=90°，
同理可求∠DNA=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ANDM为矩形；
∴DM∥AB，
∴△DMC∽△BAC，
∴

，
∵CD：BD=1：2，
∴

1+2

，
∵AB=3，
∴DM=1，
同理可求DN=2，

∴S_{四边形ANDM}=1×2=2；

（3）如图3，过点D作DG⊥AC于G，作DH⊥AB于H，
∵∠NDH+∠HDM=∠EDF=90°，
∠MDG+∠HDM=∠HDG=90°，
∴∠NDH=∠MDG，
又∵∠NHD=∠MGD=90°，
∴△NDH∽△MDG，
∴

，
由（2）可知DH=2，DG=1，
∴NH=2MG，
∵DG⊥AC，∠C=45°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴CG=DG=1，
∵CM=x，
∴MG=x-1，
∴NH=2（x-1），
∴BN=AB-AH-NH=3-1-2（x-1）=4-2x，
四边形ANDM的面积y=S_△ABC-S_△CDM-S_△BDN
=

×3×3-

x•1-

×2×（4-2x）
=

．

点评：本题考查了相似形综合题型，主要利用了平行线的性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（3）难度较大，作辅助线，构造出相似三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．