Question

10．如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：M是BE的中点．

Answer 1

分析 要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．

解答 证明：连接BD，
∵等边三角形ABC中，D是AC的中点，
∴∠DCB=∠ABC=60°，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°
∵CE=CD，
∴∠DEC=∠EDC=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DEC，
又∵DM⊥BC，垂足为M，
∴M是BE的中点．

点评 本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．