Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于D，O为AD上一点，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于G，交BC于E、F．且AG=AD．
（1）求EF的长；
（2）求tan∠BDG的值．

Answer 1

分析 （1）连接AF，GE，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，由勾股定理得到AG=AD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（2）作GH⊥BC于H，推出AD∥GH，由相似三角形的性质得到$\frac{BH}{BD}=\frac{GH}{AD}=\frac{BG}{BA}=\frac{1}{5}$，根据三角形函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）连接AF，GE，
∵AD⊥BC，AB=AC，圆心在AD上，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，ED=FD，
∴BE=CF，
∴AG=AD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，BG=AB-AD=2，
设BE=CF=x，则BF=BC-BE=12-x，
∵四边形AGEF内接于⊙O，
∴∠BEG=∠BAF，∠BGE=∠BFA，
∴△BEG∽△BAF，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BG}{BF}$，
∴x（12-x）=20，
∴x=2，x=10（不合题意舍去），
∴EF=BC-2x=8；
（2）作GH⊥BC于H，
∵D⊥BC，GH⊥BC，
∴AD∥GH，
∴△BGH∽△BAD，
∴$\frac{BH}{BD}=\frac{GH}{AD}=\frac{BG}{BA}=\frac{1}{5}$，
∴tan∠BDG═$\frac{GH}{DH}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．