Question

如图，△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形BDFE的面积．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CF是AD边的中线，然后求出EF是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边证明；
（2）判断出△CAD是等边三角形，然后求出BD，过点A作AM⊥BC，垂足为M，根据等边三角形的性质求出AM，从而求出△ABD的面积，然后求出根据△AEF和△ABD相似，求出△AEF的面积，再求解即可．

解答：（1）证明：∵CA=CD，CF平分∠ACB，
∴CF是AD边的中线，
∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD；

（2）解：∵∠ACB=60°，CA=CD，
∴△CAD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8，
∴BD=BC-CD=12-8=4，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
∴AM=

3

2

AD=

3

2

×8=4

3

，
S_△ABD=

1

2

BD•AM=

1

2

×4×4

3

=8

3

，
∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，且

EF

BD

=

1

2

，
∴

S△AEF

S△ABD

=

1

4

，
∴S_△AEF=

1

4

×8

3

=2

3

，
四边形BDFE的面积=S_△ABD-S_△AEF=8

3

-2

3

=6

3

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质与定理是解题的关键．