Question

3． 如图，△ABC中，∠B=60°，AD⊥BC，CE⊥AB，说明：
（1）△BDA∽△BEC；
（2）△BDE∽△BAC；
（3）若取AC边的中点F，则△DEF为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）由∠BDA=∠BEC=90°，∠B=∠B，即可得出结论；
（2）由（1）得出△BDA∽△BEC，得出对应边成比例$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，再由∠B=∠B，即可得出结论；
（3）证出BD=$\frac{1}{2}$AB，由相似三角形的性质得出DE=$\frac{1}{2}$AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出EF=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，证出DE=EF=DF即可．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BDA=∠ADC=∠AEC=∠BEC=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDA∽△BEC；
（2）由（1）得：△BDA∽△BEC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（3）∵∠B=60°，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
由（2）得：△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，
又∵F是AC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF为等边三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定等知识；证明三角形相似是解决问题的关键．